在Unity中，移动（平移）、旋转、缩放的矩阵变换是通过4×4的齐次坐标矩阵实现的，这些矩阵共同构成了物体在3D空间中的变换。以下是每个部分的详细解释及其作用：
1. 平移（Translation）矩阵 #
作用： #
- 移动物体：将物体在空间中沿X、Y、Z轴方向平移，改变物体的位置。
矩阵结构： #
| 1 0 0 tx |
| 0 1 0 ty |
| 0 0 1 tz |
| 0 0 0 1 |
- 参数：
tx,ty,tz是沿X、Y、Z轴的位移量。 - 位置：平移向量位于矩阵的第四列（前三行最后一列）。
关键点： #
- 仅对点有效：平移仅对具有位置的点（
w=1）生效，对方向向量（w=0）无效。 - 变换顺序：平移通常在旋转和缩放之后应用（如复合变换
M = T * R * S）。
2. 旋转（Rotation）矩阵 #
作用： #
- 改变物体方向：绕X、Y、Z轴旋转，保持物体形状不变。
矩阵结构： #
旋转矩阵是3×3的正交矩阵，位于齐次矩阵的左上角（前3行前3列）。具体形式取决于旋转轴：
绕X轴旋转（θ角）： #
| 1 0 0 0 |
| 0 cosθ -sinθ 0 |
| 0 sinθ cosθ 0 |
| 0 0 0 1 |
绕Y轴旋转（θ角）： #
| cosθ 0 sinθ 0 |
| 0 1 0 0 |
| -sinθ 0 cosθ 0 |
| 0 0 0 1 |
绕Z轴旋转（θ角）： #
| cosθ -sinθ 0 0 |
| sinθ cosθ 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
关键点： #
- 正交性：旋转矩阵的行/列向量是单位向量且彼此正交（确保不扭曲形状）。
- 组合旋转：多个旋转可通过矩阵相乘组合（如欧拉角
Rx * Ry * Rz）。 - Unity中的实现：Unity使用四元数（Quaternion）简化旋转操作，但底层仍通过矩阵计算。
3. 缩放（Scaling）矩阵 #
作用： #
- 改变物体尺寸：沿X、Y、Z轴缩放，控制物体的大小。
矩阵结构： #
| sx 0 0 0 |
| 0 sy 0 0 |
| 0 0 sz 0 |
| 0 0 0 1 |
- 参数：
sx,sy,sz是沿X、Y、Z轴的缩放因子。 - 位置：缩放因子位于矩阵的主对角线（左上3×3子矩阵的对角线）。
关键点： #
- 均匀/非均匀缩放：
- 均匀缩放（
sx = sy = sz）：保持物体形状比例。 - 非均匀缩放（如
sx ≠ sy）：可能导致物体变形（如拉伸）。
- 均匀缩放（
- 对旋转的影响：非均匀缩放会改变旋转轴的方向，需谨慎使用。
4. 齐次坐标（Homogeneous Coordinates） #
作用： #
- 统一表示变换：通过添加
w分量，将平移、旋转、缩放统一为矩阵乘法。
结构： #
齐次坐标将3D点(x, y, z)扩展为(x, y, z, 1)，向量扩展为(x, y, z, 0)：
- 点（
w=1）：参与平移和线性变换。 - 向量（
w=0）：仅参与旋转和缩放（无平移）。
关键点： #
- 矩阵乘法兼容性：齐次坐标允许将平移、旋转、缩放组合成单个4×4矩阵。
- Unity中的应用：所有变换矩阵（如
Model、View、Projection）均基于齐次坐标。
5. 复合变换（Combined Transform） #
在Unity中，物体的变换通常通过缩放→旋转→平移的顺序组合：
M_{\text{复合}} = T \times R \times S
矩阵结构： #
| Rx*x Ry*x Rz*x tx |
| Rx*y Ry*y Rz*y ty |
| Rx*z Ry*z Rz*z tz |
| 0 0 0 1 |
- 左上3×3：旋转后的缩放矩阵（
R × S）。 - 第四列：平移向量
T。 - 最后一行：始终为
(0, 0, 0, 1)。
Unity中的实现： #
- Transform组件：封装了位置（Position）、旋转（Rotation）、缩放（Scale），底层通过矩阵运算实现。
- Matrix4x4类：直接操作矩阵（如
Matrix4x4.TRS生成复合矩阵）。
6. 典型应用示例 #
(1) 移动物体： #
// 生成平移矩阵
Matrix4x4 translation = Matrix4x4.Translate(new Vector3(5, 0, 0));
Vector3 point = new Vector3(1, 2, 3);
Vector3 translatedPoint = translation.MultiplyPoint(point); // 结果(6,2,3)
(2) 旋转物体： #
// 绕Y轴旋转90度
Matrix4x4 rotation = Matrix4x4.Rotate(Quaternion.Euler(0, 90, 0));
Vector3 rotatedPoint = rotation.MultiplyPoint(new Vector3(1, 0, 0)); // 结果(0,0,-1)
(3) 缩放物体： #
// X轴缩放2倍
Matrix4x4 scale = Matrix4x4.Scale(new Vector3(2, 1, 1));
Vector3 scaledPoint = scale.MultiplyPoint(new Vector3(1, 2, 3)); // 结果(2,2,3)
(4) 复合变换： #
// 缩放→旋转→平移
Matrix4x4 transformMatrix = Matrix4x4.TRS(
position: new Vector3(5, 0, 0), // 平移
rotation: Quaternion.Euler(0, 90, 0), // 旋转
scale: new Vector3(2, 1, 1) // 缩放
);
7. 注意事项 #
- 矩阵相乘顺序：
- 右乘优先：
M = T × R × S表示先缩放，再旋转，最后平移（矩阵相乘顺序与操作顺序相反）。
- 右乘优先：
- 非均匀缩放的风险：
- 非均匀缩放会破坏旋转矩阵的正交性，可能导致法线方向错误（需重新计算法线）。
- Unity的优化：
- Unity通过四元数（Quaternion）和欧拉角（EulerAngles）封装旋转，避免直接操作旋转矩阵的复杂性。
总结 #
- 平移矩阵：控制物体位置（第四列）。
- 旋转矩阵：控制物体方向（左上3×3的正交子矩阵）。
- 缩放矩阵：控制物体尺寸（左上3×3的对角线）。
- 齐次坐标：统一平移、旋转、缩放的计算。
通过这些矩阵的组合，Unity实现了物体在3D空间中的灵活变换，开发者可通过Transform组件或直接操作矩阵实现复杂效果。
为什么是这个顺序？ #
在3D图形学和Unity引擎中，变换操作的顺序必须遵循“先缩放（Scale）→再旋转（Rotation）→最后平移（Translation）”，这是因为矩阵乘法的非交换性和变换的几何意义所决定的。以下是详细解释：
1. 变换顺序的核心原因：矩阵乘法的非交换性 #
矩阵乘法不满足交换律（即 (
但实际操作顺序是先缩放、再旋转、最后平移（即从右到左读取矩阵相乘的顺序）。
2. 顺序分解：缩放 → 旋转 → 平移 #
(1) 先缩放（Scale） #
- 作用：改变物体的尺寸（沿坐标轴方向放大或缩小）。
- 关键点：
- 缩放操作不改变坐标轴的方向和原点，因此后续的旋转和平移不会受到缩放的影响。
- 如果先缩放，后续的旋转将以缩放后的坐标轴为基准（例如，缩放后旋转会以缩放后的轴方向进行旋转）。
(2) 再旋转（Rotation） #
- 作用：改变物体的方向（绕坐标轴旋转）。
- 关键点：
- 旋转会改变坐标轴的方向，但不改变原点。
- 如果旋转在缩放之后，旋转后的坐标轴方向是基于缩放后的物体尺寸（例如，旋转后的轴方向不会因后续的平移而改变）。
- 如果旋转在平移之前，旋转是围绕原点进行的，而平移后的物体位置不会被旋转影响。
(3) 最后平移（Translation） #
- 作用：移动物体到目标位置。
- 关键点：
- 平移会改变物体的原点位置，但不会改变坐标轴的方向或缩放后的尺寸。
- 如果平移在最后，它将物体从原点移动到目标位置，而缩放和旋转已经确定了物体的尺寸和方向。
3. 顺序错误的后果 #
(1) 先平移再缩放 #
- 问题：平移后的物体距离原点更远，缩放会放大或缩小平移的距离。
- 例如：先平移
(2, 0, 0)，再缩放2，最终位置会是(4, 0, 0)（缩放影响了平移的距离）。 - 预期：可能希望缩放仅改变尺寸，但平移后的缩放会扭曲位置。
- 例如：先平移
(2) 先旋转再缩放 #
- 问题：旋转后的坐标轴方向可能与缩放方向不一致，导致物体沿旋转后的轴方向缩放，产生意外变形。
- 例如：先绕Y轴旋转90°，再沿X轴缩放2倍，实际会沿旋转后的X轴（原Z轴方向）缩放，导致方向错误。
(3) 先平移再旋转 #
- 问题：旋转会围绕原点进行，而平移后的物体远离原点，导致旋转中心不正确。
- 例如：先平移
(5, 0, 0)，再绕原点旋转90°，物体将绕原点旋转，而非自身的中心。
- 例如：先平移
4. 为什么Unity和其他引擎遵循此顺序？ #
(1) 符合数学定义 #
- 复合变换矩阵：
Unity的Transform组件默认的变换顺序是缩放→旋转→平移，其矩阵表达式为：
- 其中，(S)是缩放矩阵，(R)是旋转矩阵，(T)是平移矩阵。
- 这样，物体的变换过程是：先缩放自身，再旋转自身方向，最后平移到目标位置。
(2) 父子对象的层级关系 #
- 本地坐标系的继承：
子对象的变换是基于父对象的变换后的坐标系。例如：- 如果父对象先缩放，子对象的旋转和后续平移会基于父对象缩放后的坐标轴。
- 如果父对象先平移，子对象的缩放和旋转会基于父对象的位置，可能导致位置偏移。
(3) 避免几何错误 #
- 保持旋转中心：
默认顺序确保旋转和缩放均以物体的本地原点（通常是几何中心）为基准，避免因平移导致旋转中心偏移。
5. 实际应用中的验证 #
(1) 场景中的立方体 #
- 正确顺序（缩放→旋转→平移）：
一个立方体先缩放为2x2x2，绕Y轴旋转90°，最后平移到(5, 0, 0)，结果符合预期。 - 错误顺序（平移→旋转→缩放）：
先平移到(5, 0, 0)，再旋转会导致物体绕原点旋转（远离中心），缩放会改变平移后的距离，导致位置混乱。
(2) Unity代码示例 #
// 正确顺序：缩放→旋转→平移
transform.localScale = new Vector3(2, 2, 2); // 缩放
transform.Rotate(0, 90, 0); // 旋转（绕Y轴）
transform.position = new Vector3(5, 0, 0); // 平移
// 错误顺序：平移→旋转→缩放
transform.position = new Vector3(5, 0, 0); // 平移
transform.Rotate(0, 90, 0); // 旋转（绕原点，导致位置偏移）
transform.localScale = new Vector3(2, 2, 2); // 缩放会放大平移后的距离
6. 总结 #
| 操作顺序 | 数学意义 | 几何意义 |
|---|---|---|
| 缩放（S） | 改变坐标轴的长度（保持原点和方向） | 改变物体尺寸，但不移动或旋转 |
| 旋转（R） | 改变坐标轴的方向（保持原点和缩放后的长度） | 改变物体方向，但不改变尺寸或位置 |
| 平移（T） | 改变原点位置（保持坐标轴的方向和缩放） | 移动物体到目标位置，但不改变尺寸或方向 |
遵循此顺序的原因：
- 缩放确保后续旋转和移动的基准是物体的原始尺寸。
- 旋转基于缩放后的坐标轴方向，避免方向错误。
- 平移最后执行，确保物体移动到正确的位置，不受缩放或旋转的影响。
通过这种方式，可以精确控制物体的变换，避免因顺序错误导致的逻辑或视觉错误。
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